Lösung

Das Bild auf dem Flyer zeigt ein Venn-Diagramm mit einer Rotationssymmetrie für fünf Mengen. John Venn (1834-1923), ein englischer Mathematiker und anglikanischer Geistlicher, untersuchte solche ursprünglich von Leonhard Euler eingeführten Diagramme, um Schnittmengenrelationen graphisch darzustellen. Venn-Diagramme mit Kreisen existieren nur für maximal drei Mengen:

Venn-Diagramme für eine, zwei und drei Mengen.

Für ein Venn-Diagramm für vier Mengen mit 2⁴ = 16 möglichen Schnittmengen muss man bereits Ellipsen verwenden: Venn schlug ein axialsymmetrisches Diagramm vor:

Venn gab auch ein Rezept an, wie Diagramme für eine beliebige Anzahl n von Mengen gezeichnet werden können. Diese Diagramme weisen dann allerdings keine Symmetrie mehr auf. 1960 fand David W. Henderson als College-Student den Satz, dass bei einem Venn-Diagramm mit Rotationssymmetrie n notwendigerweise eine Primzahl ist [1]. Erst 1975 bemerkte Branko Grünbaum, dass Hendersons Beweis eine Lücke aufwies, die sich nicht reparieren liess: Grünbaum gab nämlich ein Venn-Diagramm mit Rotationssymmetrie für vier Mengen an [2]. Tatsächlich ist Hendersons Satz nur korrekt, wenn man verlangt, dass alle Schnittmengen zusammenhängend sein müssen [3]. Erst 2004 entdeckten Griggs, Killian und Savage, dass tatsächlich für jede Primzahl n ein rotationssymmetrisches Venn-Diagramm mit dieser Anzahl von Mengen existiert [4]. Die auf dem Flyer abgebildete Lösung für fünf Mengen mit Ellipsen stammt von Banko Grünbaum. Für grössere Primzahlen muss man allerdings zu nicht konvexen Mengen Zuflucht nehmen. Für die ganze Geschichte der Venn-Diagramme verweisen wir auf [5].

[1] D. W. Henderson, Venn diagrams for more than four classes, Amer. Math. Monthly 70 (1963) 424-426.

[2] B. Grünbaum, Venn diagrams and independent families of sets, Math. Mag. 48 (1975) 12-23.

[3] S. Wagon, P. Webb, Venn symmetry and prime numbers: a seductive proof revisited. Amer. Math. Monthly 115 (2008), 645–648.

[4] J. Griggs, C. E. Killian, and C. D. Savage, Venn diagrams and symmetric chain decompositions in the Boolean lattice, Electron. J. Combin. 11 (2004) #R2.

[5] A. W. F. Edwards, Cogwheels of the Mind: The Story of Venn Diagrams, Johns Hopkins University Press, Baltimore, MD, 2004.

Zur Didaktischen Ausbildung geht es nun hier entlang.